• Una de las principales características de las series de tiempo es la presencia de Auto-correlación o correlación serial.
• Ustedes posiblemente están familiarizados con el concepto de correlación entre dos variables, la auto-correlación implica correlación entre la serie y su pasado.

La autocovarianza de orden \(j\) se define como;

\[\begin{equation} \gamma_j = cov(x_{t},x_{t-j}) = E[(x_{t}x_{t-j})] - \mu_{t}\mu_{t-j} \end{equation}\]

Ahora, definimos la auto-correlación como

\[\begin{equation} \rho_j = \frac{\gamma_j}{\gamma_0} \end{equation}\]

La ventaja de usar la auto-correlación en vez de la auto-covarianza es que la auto-correlación siempre va a estar entre -1 y 1, dado que la covarianza siempre es igual o menor en valor absoluto que la varianza.

Las auto-covarianzas y auto-correlaciones expuestas anteriormente son los valores poblacionales, estas pueden ser estimadas en una muestra de tamaño \(T\) de la siguiente manera: \[\begin{align} \hat{\gamma_j} = & \frac{1}{T} \sum^T_{t=j+1} (x_t - \bar{x}_{j+1:T})(x_{t-j} - \bar{x}_{1:T-j}) \\ \hat{\rho_j} = & \frac{\hat{\gamma_j}}{\widehat{var(x_t)}} \end{align}\]

• donde \(\bar{x}_{j+1:T}\) es el promedio muestral de \(x_t\) usando las observaciones \(t=j+1,j+2,\dots,T\)
• \(\widehat{var(x_t)}=\frac{1}{T-1}\Sigma_{i=1}^T(x_i-\bar{x})^2\) es la varianza muestral de \(x_t\).
• Noten que la ecuación de la auto-covarianza se divide por \(T\) y no \(T-j\) como es usual cuando perdemos grados de libertad, la razón para esto es para poder hacer comparaciones entre diferentes ordenes de las auto-covarianzas.

Vemos un ejemplo de una serie de tiempo con auto-correlación:

El crecimiento del PIB trimestral para EEUU.

• En nuestro ejemplo de crecimiento del PIB las autocorrelaciones muestrales son, \(\hat{\rho_1}=0.34\), \(\hat{\rho_2}=0.27\), \(\hat{\rho_3}=0.13\), \(\hat{\rho_4}=0.14\).
• Estos valores sugieren que el crecimiento del PIB esta levemente correlacionado positivamente.
• Esto implica que si el PIB crece más (menos) que el promedio en un periodo, este tiende a crecer más (menos) que el promedio el periodo siguiente.

• Claramente, si la autocorrelación es distinta de cero los supuestos de MCO no se cumplen.
• Por esta razón se han escrito innumerables artículos de investigación sobre como testear por correlación serial en modelos de regresión.
• La forma más sencilla de hacerlo es testeando la hipótesis nula de no correlación serial versus la alternativa de correlación serial de algún orden.

Test correlación serial

Supongamos el siguiente modelo de regresión lineal, \[\begin{equation} y_t = \mathbf{X}_t \boldsymbol{\beta} + u_t, \quad u_t = \rho u_{t-1} + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t \sim IID(0,\sigma^2_{\varepsilon}) \end{equation}\]

es decir, el termino de error \(u_t\) sigue un proceso AR(1).

Como veremos cuando analicemos los modelos Autorregresivos debemos imponer la restricción \(|\rho|<1\).

Sustituyendo \(u_t\) por \(\rho u_{t-1} + \varepsilon_t\),

\[\begin{equation} y_t = \mathbf{X}_t \boldsymbol{\beta} + \rho u_{t-1} + \varepsilon_t \end{equation}\]

Y remplazando \(u_{t-1}\) por \(y_{t-1} - \mathbf{X}_{t-1} \boldsymbol{\beta}\), \[\begin{equation} y_t = \rho y_{t-1} + \mathbf{X}_t \boldsymbol{\beta} - \rho\mathbf{X}_{t-1} \boldsymbol{\beta} + \varepsilon_t \end{equation}\]

• Como la variable dependiente rezagada, \(y_{t-1}\), entra dentro de los regresores nos referimos a este modelo como un modelo dinámico .
• Para este modelo perdemos el primer dato de la muestra ya que en este caso no conoceríamos el rezago para dicho momento.
• Este modelo es lineal en los regresores, pero no es lineal en los parámetros, y por lo tanto debería ser estimado por Mínimos Cuadrados no lineales.

Test correlación serial - Gauss Newton

Podemos evitar hacer esta estimación no lineal, si hacemos un test basándonos en la regresión de Gauss-Newton.

Primero estimamos por MCO la regresión: \[\begin{equation} y_t = \mathbf{X}_t \boldsymbol{\beta} + u_t \end{equation}\]

Sea \(\tilde{u}\) el vector de residuales de la regresión anterior.

Con esto, el test consiste en probar la hipótesis nula de \(b_p = 0\) en la regresión, \[\begin{equation} \tilde{u}_t = b_p \tilde{u}_{t-1} + residuales \end{equation}\] donde \(b_p \sim N(0,1)\) bajo la hipótesis nula.

Test correlación serial - Otros Tests

Yule-Walker Test: Calculamos la autocorrelación de los residuales, \[\begin{equation} \hat{\rho}_1 = \frac{\hat{\gamma}_1}{\hat{\gamma}_0} \end{equation}\] testeamos \(\hat{\rho}_1 = 0\) con \(Var(\hat{\rho}_1) = \frac{1}{T}\).